# 将积分转化为连续形式用于证明不等式

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Author: onlymatt
Published: 2025-12-07T05:37:21.000Z
Updated: 2026-10-21T11:21:55.803Z
Categories: Mathematics, Calculus
Tags: Integration, Inequalities

在证明与积分相关的不等式的时候，可以将积分用离散形式表达，进而进行进一步操作：

$eg_1$
证明：
$$
\ln \int_0^1 f(x) \, dx \geq \int_0^1 \ln f(x) \, dx
$$
不妨转化为：
$$
\int_0^1 f(x) \, dx \geq e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}
$$
我们可以注意到，左边这个积分实际上可以视为$f(x)$的算数平均数，而右边可以视为几何平均数，这样，我们将其拆分就理所当然了。
$$
\begin{aligned}
\int_0^1f(x)\,dx 
&= \lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{k=1}\frac{f(\frac{k}{n})}{n}\\
&= \lim_{n\to\infty}\frac{f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n}{n})}{n}
\end{aligned}
$$
而
$$
e^{\int_0^1lnf(x)\,dx}
=\lim_{n\to\infty}\exp(\sum_{k=1}^{n}\frac{lnf(\frac{k}{n})}{n})
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})}
$$
由几何平均数小于算数平均数得：
$$
\sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})}
\leq
\frac{f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n}{n})}{n}
$$
当$n\to\infty$有
$$
\int_0^1 f(x) \, dx \geq e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}
$$
即为：
$$\ln \int_0^1 f(x) \, dx \geq \int_0^1 \ln f(x) \, dx$$