将积分转化为连续形式用于证明不等式

在证明与积分相关的不等式的时候，可以将积分用离散形式表达，进而进行进一步操作：

$eg_1$
证明：

$$\ln \int_0^1 f(x) \, dx \geq \int_0^1 \ln f(x) \, dx$$

不妨转化为

$$\int_0^1 f(x) \, dx \geq e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}$$

我们可以注意到，左边这个积分实际上可以视为$f(x)$的算数平均数，而右边可以视为几何平均数，这样，我们将其拆分就理所当然了。

$$\begin{align*} \int_0^1f(x)\,dx &= \lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{k=1}\frac{f(\frac{k}{n})}{n}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n}{n})}{n} \end{align*}$$

而

$$e^{\int_0^1lnf(x)\,dx} =\lim_{n\to\infty}\exp(\sum_{k=1}^{n}\frac{lnf(\frac{k}{n})}{n}) =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})}$$

由几何平均数小于算数平均数得：

$$\sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})} \leq \frac{f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n}{n})}{n}$$

当$n\to\infty$有

$$\int_0^1 f(x) \, dx \geq e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}$$

即为：

$$\ln \int_0^1 f(x) \, dx \geq \int_0^1 \ln f(x) \, dx$$