积分例子

例子：计算积分 $\int \frac{1}{1 + x^2 + x^4} dx$

要计算积分 $\int \frac{1}{1 + x^2 + x^4} dx$，可以按以下步骤进行：

步骤1：因式分解分母

分母 $1 + x^2 + x^4$可分解为两个二次多项式的乘积：

$$1 + x^2 + x^4 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$$

步骤2：部分分式分解

设

$$\frac{1}{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{Ax + B}{x^2 + x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 - x + 1}$$

通分后比较分子系数，解得 $A = \frac{1}{2}$，$B = \frac{1}{2}$，$C = -\frac{1}{2}$，$D = \frac{1}{2}$。因此：

$$\frac{1}{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{-x + 1}{x^2 - x + 1}$$

步骤3：拆分积分并化简

原积分化为：

$$\frac{1}{2} \int \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{-x + 1}{x^2 - x + 1} dx$$

对每个积分，分子可表示为分母导数的倍数与常数之和：

• 对 $\int \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} dx$，分子 $x + 1 = \frac{1}{2}(2x + 1) + \frac{1}{2}$，积分拆为：

  $$\frac{1}{2} \ln|x^2 + x + 1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx$$

• 对 $\int \frac{-x + 1}{x^2 - x + 1} dx$，分子 $-x + 1 = -\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{2}$，积分拆为：

  $$-\frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$$

步骤4：计算剩余积分（反正切形式）

对分母配方后用反正切积分公式：

• $x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$，积分得：

  $$\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C$$

• $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$，积分得：

  $$\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$$

步骤5：合并结果并化简

将上述积分代入原表达式，合并对数项和反正切项，并利用反正切和公式 $\arctan A + \arctan B = \arctan\left(\frac{A + B}{1 - AB}\right)$化简，最终结果为：

$$\boxed{\frac{1}{4} \ln \left( \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1} \right) + \frac{1}{2\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{\sqrt{3}x}{1 - x^2} \right) + C}$$